基础数学课26 矩阵
我们看下矩阵的相关计算，矩阵由多个长度相等的向量组成，每列或者每行都是一个向量。我们将向量看作一维数组，矩阵就是一个二维向量数组。
利用二维矩阵的特性，矩阵就可以表达二元关系了，这里我们就从图的邻接矩阵开始出发，展示如何使用矩阵计算来实现PageRank算法。
这里我们回顾下PageRank算法，其模拟了一个随机冲浪者的模型，从某个网页开始出发，根据Web页面中的链接关系进行随机访问。从而不断的访问下去，只不过在此基础上，PageRank还加入了跳出的逻辑。
其中Pi 或者Pj表示第i或第j个网页
Mi是第i张网页入链接集合
PR（Pj）子的是Pj的PageRank的得分
L（Pj）表示Pj的出链接数量。
那么这就表示了从Pj调到Pi的概率
后面的a和N代表着，N为网页的数量 a为不跳转的概率。
PageRank是迭代法实现的，一开始所有的网页节点PageRank设置为相同的数。
然后得到每个节点的新PageRank值，当一个网页的PageRank发生了变化，会导致相连的所有页面都会发生变化。因此可以使用这个公式，进行迭代式的修复。
最终在多伦迭代后，得到一个稳定的值。
那么这个如何和PageRank扯上关系呢？
如果我们先把跳出的概率隐藏掉，那么这个公式就变为了
这时候再引入矩阵的点乘公式
这时候就可以将PageRank的计算，转换为两个矩阵的点乘，一个矩阵式每个页面的PageRank，另一个矩阵为接邻矩阵，其表示图结点的相邻关系的矩阵。
我们假设一开始的PageRank为1
那么主要就是接邻矩阵，对于这个矩阵中的元素，第i行第j列的元素，我们可以使用其表示页面pi到页面pj的链接，如果存在链接就是1，不然就是0.
这个图的邻接矩阵为
然后我们进行一个归一化处理，矩阵为
这里我们就可以进行一个PageRank的处理，第一次迭代操作为
如果考虑随机跳转的话，我们就需要在每次迭代之中，在进行一次点乘。
也就是
最后得到结果集，还可以在每一轮中进行归一化处理
对应到Python代码中，可以使用如下代码实现。
然后使用迭代计算PageRank，不过这里我们设置一个迭代上限
最终获取得分。
这里我们使用PageRank计算了矩阵得分，这种情况下，矩阵点乘体现了马尔科夫过程中的状态转移。
除了PageRank之外，我们还可以使用矩阵操作来进行协同过滤推荐，其中利用用户和物品之间的已知关系，来为用户提供新的推荐内容。
我们这里就说下如何实现协同过滤推荐算法，不过在此之前，我们先说下这个算法的核心思想。
简单来说，就是根据当前用户的喜好，来推荐其他可能感兴趣的商品。推荐的来源在于，需要先找到当前和当前用户具有相同或类似品味的用户，然后根据其他用户的选择，给这个用户推荐新的商品。
更加详细的，在推荐算法中，我们可以利用矩阵表示这种二元关系，
其中Xij 表示的第i个用户对j个物品的喜好程度，这里的喜好程度可以由用户的购买次数或者打分决定。
再有了这样一个用户矩阵之后，我们就可以一方面计算用户之间的相似性，一方面对喜好进行预测。
对应的的公式就如下，假设有m个用户，n个物品，就可以使用m*n的矩阵来表示对物品喜好的二元关系。
第一个公式是用来计算用户之间的相似度
X i1 表示第i1行的行向量，也就是用户的喜好向量
Xi2 表示i2行的行向量，也是i2用户的喜好向量。
分子是点乘，分母是乘积。
第二个公式利用第一个公式的用户相似度，以及对物品的喜好，预测用户对其他物品的喜好程度。
其中usi，k 表示用户i和k之间的相似程度， xk，j 表示用户k对物品j的喜好程度。同时除以 usi，k。 进行归一化处理。
对于第二个公式来说，如果越相似，那么得到的结果必然越大。从而实现了相似用户的推荐。
对于公式，这里我们通过一个假数据集来看下
我们已经有了一个喜好度矩阵X
这样我们需要获取到用户的喜好向量，这里可以通过点乘的方式来实现，也就是XX‘
这时候就可以计算us的值了，如果us1，2
而us代表的是用户之间的相似度，通过us，我们计算任意用户对任意商品的喜好程度。
得到了第二个公式中的分子，而分母可以为分子中US的按行求和。
利用USP和USR相除，得到结果为
那么我们就知道了任意用户对任意商品的喜好矩阵。
就比如第一个用户对第三个商品的喜好度，理论上大于0，而之前用户从没接触过，这就可以进行推荐。将物品3推荐给用户1.
除此外，对于这个商品的推荐算法，我们往往还需要考虑到，有的用户比较严苛，有的用户比较宽松，高分比低分更常见。所以我们需要进行归一化以及标准化处理，最后进行协同过滤。
除此外，我们还可以利用物品之间的相似度进行计算，同样得到用户对物品的喜好程度。
那么总结一下，我们说了下协同过滤算法如何通过矩阵求得。并说明其核心思想是先计算用户或物品的相似度，并最后推测出推荐结果。